Применение производной к решению задач на оптимитизацию. Необходимо изготовить деревянный короб с квадратным дном для приема цемента объемом 3200 м3. Каковы должны быть размеры этого короба, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Пусть a - сторона квадратного основания короба, а b - высота короба.

Тогда объём будет V = a² * b = 3200, откуда b = 3200 / a².

Площадь поверхности короба (с открытой крышей):

S = a² + 4 * a * b.

Подставив выражение b = 3200 / a² в формулу площади, получим:

S (a) = a² + 12800 / a.

Минимизируем эту функцию.

Найдём её производную:

S' (a) = 2 * a - 12800 / a².

Находим нули производной:

2 * a - 12800 / a² = 0,

a³ = 6400, откуда a = ³√6400 ≈ 18,57 м - точка минимума.

Сторона b:

b = 3200 / a² = 3200 / (³√6400) ² ≈ 9,28 м.