Векторы a, b образуют угол фи=пи/6; зная, что |a|=корень из 3, |b|=1, вычислить угол альфа между векторами p=a+b и q=a-b.

Построим параллелограмм, где векторы а и b образуют стороны параллелограмма.

Острый угол между векторами равен 30º, тогда тупой угол равен 150º.

По теореме косинусов найдем длины векторов p и q.

|p|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2 * |a| * |b| * cos150º = 3 + 1 - 2 * √3 * (-√3/2) = 4 + 3 = 7.

|p| = √7.

|q|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2 * |a| * |b| * cos30º = 3 + 1 - 2 * √3 * (√3/2) = 4 - 3 = 1.

|q| = 1.

Так как диагонали делятся точкой пересечения пополам, то

|b|^2 = (|p|/2) ^2 + (|q|/2) ^2 - 2 * |p| * |q| * cosα = 7/4 + ¼ - 2 * √7 * 1 * cosα = 2 - 2 * √7 * cosα.

Подставим значение длины вектора b и найдем угол α.

1 = 2 - 2 * √7 * cosα.

Cosα = 1 / (2√7).

Тогда α = arcos (1 / (2√7)).