Решите показательное неравенство: 8^x-4^x=2^ (x+1)

Чтобы решить показательное уравнение, воспользуемся свойством степени:

8^x - 4^x = 2^ (x + 1);

8^x - 4^x = 2 * 2^x;

8^x - 4^x - 2 * 2^x = 0;

2^x * 4^x - 2^x * 2^x - 2 * 2^x = 0;

Раздели каждый член равенства на 2^x:

2^x * 4^x / 2^x - 2^x * 2^x / 2^x - 2 * 2^x / 2^x = 0;

4^x - 2^x - 2 = 0;

2^2x - 2^x - 2 = 0;

Выполним замену:

2^x = у, у > 0;

у^2 - у - 2 = 0;

Найдем корни, решив квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант:

D = b^2 - 4ac = ( - 1) ^2 - 4 * 1 * ( - 2) = 1 + 8 = 9;

D › 0, значит:

у1 = ( - b - √D) / 2a = (1 - √9) / 2 * 1 = (1 - 3) / 2 = - 2 / 2 = - 1, не подходит так как отрицательное;

у2 = ( - b + √D) / 2a = (1 + √9) / 2 * 1 = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2;

Найдем х:

2^x = у;

Если у = 2, то:

2^x = 2;

2^x = 2^1;

х = 1;

Ответ: х1 = 1.