Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=ln (2x-3) + 2 ln (6-x) на отрезке [2; 5]

1. Вычислим производную функции и найдем точки экстремума:

y (x) = ln (2x - 3) + 2ln (6 - x);

y' (x) = 2 / (2x - 3) - 2 / (6 - x);

y' (x) = 0;

2 / (2x - 3) - 2 / (6 - x) = 0;

2 / (2x - 3) = 2 / (6 - x);

2x - 3 = 6 - x;

2x + x = 3 + 6;

3x = 9;

x = 3, точка экстремума.

2. Значения функции в точке экстремума и на концах отрезка [2; 5]:

y (2) = ln (2 * 2 - 3) + 2ln (6 - 2) = ln (1) + 2ln (4) = ln (16); y (3) = ln (2 * 3 - 3) + 2ln (6 - 3) = ln (3) + 2ln (3) = 3ln (3) = ln (27); y (5) = ln (2 * 5 - 3) + 2ln (6 - 5) = ln (7) + 2ln (1) = ln (7).

Наибольшее значение функции - в точке экстремума: 3ln (3).

Наименьшее значение функции - при x = 5: ln (7).

Ответ: наибольшее значение: 3ln (3); наименьшее значение: ln (7).