найти интервал возрастания и убывания функции: y=x^2*lnx

Рассмотрим функцию y = у (х) = х² * lnx. Прежде всего, заметим, что данная функция определена для тех х, которые удовлетворяют условию х > 0. Для того, чтобы найти интервалы возрастания и убывания данной функции, вычислим её производную. Имеем: yꞋ = yꞋ (х) = (х² * lnx) Ꞌ = (х²) Ꞌ * lnx + х² * (lnx) Ꞌ = 2 * х * lnx + х² * (1 * х) = 2 * х * lnx + х = x * (2 * lnx + 1). Приравнивая производную к нулю решим уравнение x * (2 * lnx + 1) = 0. Произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, х = 0 и 2 * lnx + 1 = 0. Откуда, х = 0 и х = е^-½. Нетрудно убедиться, что в интервале (0; е^-½) справедливо yꞋ (х) < 0, то есть, функция убывает, а в интервале (е^-½; + ∞) справедливо yꞋ (х) > 0, то есть, функция возрастает.

Ответ: (0; е^-½) и (е^-½; + ∞).