Известно, что касательные проведены из точки В (0; 4) к графику функции f (x) = -x^2+2x. найти координаты точек касания

Надо убедиться, что точка B не является точкой касания:

4 ≠ - 0^2 + 2 · 0;

Уравнение касательной в точке x0:

y = f (x0) + f' (x0) (x - x0);

f' (x0) = - 2 (x0) + 2;

f (x0) = - x (0) ^2 + 2x (0);

Подставим в это уравнение координаты точки B:

4 = - x (0) ^2 + 2x (0) + (-2 (x0) + 2) (0 - x (0));

4 = - x (0) ^2 + 2x (0) + 2x (0) ^2 - 2x (0) = (x0) ^2;

(x0) ^2 = 4;

x (0) = ±2;

x (0) = 2;

y = f (2) + f' (2) (x - 2);

f (2) = - 2^2 + 2 · 2 = 0;

f' (2) = - 2 · 2 + 2 = - 2;

y = 0 - 2 (x - 2) = - 2x + 4;

y (0) = - 2 · 2 + 4 = 0;

x (0) = - 2;

f (-2) = - 2^2 + 2 · (-2) = - 8;

f' (-2 · 22) = - 2 · (-2) + 2 = 6;

y = - 8 + 6 (x + 2) = 6x + 4;

y (0) = 6 · (-2) + 4 = - 8;

Ответ: Координаты точек касания (2; 0); (-2; - 8).