Через точку М с центром О, проведены касательные МА и МВ, А и В - точки касания, угол ВАО=20 градусов. Найти угол АМВ

1. OA и OB - радиусы окружности. Таким образом, △AOB - равнобедренный: OA = OB - боковые стороны, AB - основание, а ∠BAO = 20° и ∠ABO - углы при основании, значит ∠BAO = ∠ABO = 20°.

По теореме о сумме углов треугольника:

∠ABO + ∠BOA + ∠BAO = 180°;

20° + ∠BOA + 20° = 180°;

∠BOA = 180° - 40°;

∠BOA = 140°.

2. Из свойств касательных известно, что радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной, тогда радиус OA⊥MA и OB⊥MB. Так как OA⊥MA, то ∠OAM = 90° и так как OB⊥MB, то ∠OBM = 90°.

Рассмотрим четырехугольник MBOA: ∠OBM = 90°, ∠BOA = 140°, ∠OAM = 90°. По теореме о сумме углов четырехугольника:

∠OBM + ∠BOA + ∠OAM + ∠AMB = 360°;

90° + 140° + 90° + ∠AMB = 360°;

∠AMB = 360° - (90° + 140° + 90°);

∠AMB = 360° - 320°;

∠AMB = 40°.

Ответ: ∠AMB = 40°.