Найти множество значений функции y=2arcsin (x^2-1) - п/2

1. Тригонометрическая функция arctgx определена на промежутке [-1; 1], на котором принимает значения от - π/2 до π/2.

2. Сначала найдем область значений функции f (x) = x^2 - 1. Наименьшее значение функция принимает в точке x = 0:

fmin = f (0) = 0^2 - 1 = - 1,

а наибольшее значение не ограничено. Следовательно:

-π/2 ≤ arcsin (x^2 - 1) ≤ π/2. (1)

3. Умножим неравенство (1) на 2, затем вычтем π/2:

-π ≤ 2arcsin (x^2 - 1) ≤ π; - π - π/2 ≤ 2arcsin (x^2 - 1) - π/2 ≤ π - π/2; - 3π/2 ≤ y ≤ π/2; y ∈ [-3π/2; π/2].

Ответ: [-3π/2; π/2].