Доказать, что для любых неотрицательных a, b, c справедливо неравенство a3+b3+c3+15abc≤2 * (a+b+c) (a2+b2+c2)

Рассмотрим разность (2 * (a + b + c) * (a² + b² + c²)) - (a³ + b³ + c³ + 15 * a * b * c), которую обозначим через R. Преобразуем её следующим образом: R = 2 * (a³ + a * b² + a * c² + a² * b + b³ + b * c² + a² * c + b² * c + c³) - a³ - b³ - c³ - 15 * a * b * c = a³ + b³ + c³ + 2 * (a * b² + a * c² + a² * b + b * c² + a² * c + b² * c) - 15 * a * b * c. Последнее выражение представим в виде суммы А + В, где А = (a³ + b³ + c³) / 3 - a * b * c и В = ⅔ * (a³ + b³ + c³) + 2 * (a * b² + a * c² + a² * b + b * c² + a² * c + b² * c) - 14 * a * b * c, то есть, R = A + B. Докажем, что для любых неотрицательных чисел a, b и c справедливы неравенства А ≥ 0 и В ≥ 0. На вооружение возьмём неравенство Коши, которое для трёх неотрицательных чисел a, b и c, формулируется следующим образом: (a + b + c) / 3 ≥ ³√ (a * b * c). Неравенство А ≥ 0 доказывается легко. Действительно, если в неравенстве Коши вместо неотрицательных a, b и c возьмём (также неотрицательные) a³, b³ и c³, то имеем: (a³ + b³ + c³) / 3 ≥ ³√ (a³ * b³ * c³) или (a³ + b³ + c³) / 3 ≥ ³√ (a³) * ³√ (b³) * ³√ (c³), то есть, А = (a³ + b³ + c³) / 3 - a * b * c ≥ 0. Для доказательства неравенства В ≥ 0, воспользуемся формулой (a + b + c) ³ = a³ + b³ + c³ + 3 * (a * b² + a * c² + a² * b + b * c² + a² * c + b² * c) + 6 * a * b * c. Тогда, получим: a³ + b³ + c³ = (a + b + c) ³ - 3 * (a * b² + a * c² + a² * b + b * c² + a² * c + b² * c) - 6 * a * b * c. Подставим правую часть этого равенства вместо a³ + b³ + c³ во выражении В. Имеем: В = ⅔ * ((a + b + c) ³ - 3 * (a * b² + a * c² + a² * b + b * c² + a² * c + b² * c) - 6 * a * b * c) + 2 * (a * b² + a * c² + a² * b + b * c² + a² * c + b² * c) - 14 * a * b * c = ⅔ * (a + b + c) ³ - ⅔ * 3 * (a * b² + a * c² + a² * b + b * c² + a² * c + b² * c) - ⅔ * 6 * a * b * c + 2 * (a * b² + a * c² + a² * b + b * c² + a² * c + b² * c) - 14 * a * b * c = ⅔ * (a + b + c) ³ - 18 * a * b * c = 18 * ((a + b + c) ³ / 27 - a * b * c). Ещё раз используем неравенство Коши из п. 2, возводя, при этом, его обе части в куб: ((a + b + c) / 3) ³ ≥ (³√ (a * b * c)) ³ или (a + b + c) ³ / 27 ≥ a * b * c, откуда (a + b + c) ³ / 27 - a * b * c ≥ 0. Умножая обе части последнего неравенства на 18, получаем нужное нам неравенство В ≥ 0. Таким образом, разность R, как сумма двух неотрицательных чисел A и B неотрицательна: R = А + В ≥ 0, откуда 2 * (a + b + c) * (a² + b² + c²) ≥ a³ + b³ + c³ + 15 * a * b * c. Что и требовалось доказать.