Разложить на множители (y - z) ^3 + (z - x) ^3 + (x - y) ^3

Решение:

Раскрываем скобки по формуле куб разности (а - b) ³ = а ³ - 3 а ²b + 3 аb² - b³ и приводим подобные слагаемые:

(y - z) ³ + (z - x) ³ + (x - y) ³ = y³ - 3y²z + 3yz² - z³ + z ³ - 3z ²x + 3zx² - x³ + x ³ - 3x ²y + 3xy² - y³ = y ³ - 3y²z + 3yz² - z ³ + z ³ - 3z ²x + 3zx² - x ³ + x ³ - 3x ²y + 3xy² - y ³ = - 3y²z + 3yz² - 3z ²x + 3zx² - 3x ²y + 3xy².

Объединяем по три слагаемых и выносим общие множители за скобку:

( - 3y²z + 3yz² - 3z ²x) + (3zx² - 3x ²y + 3xy²) = - 3z (y² - yz + z x) + 3x (zx - xy + y²).

Применим распределительный закон умножения c (a + b) = ca + cb следующим образом:

- 3z ((y² + z x) - yz) + 3x ((zx + y²) - xy) = - 3z (y² + z x) + 3z²y + 3x (y² + z x) - 3 х²y.

Объединим первое и третье слагаемые, вынесем за скобку 3 (y² + z x); объединим третье и четвёртое слагаемые, вынесем за скобку ( - 3y) и разложим z² - х² как разность квадратов:

3 (y² + z x) (x - z) + 3z²y - 3 х²y = 3 (y² + z x) (x - z) - 3y (х² - z²) = 3 (y² + z x) (x - z) - 3y (х - z) (х + z).

За скобку вынесем 3 (х - z) и упростим:

3 (y² + z x) (x - z) - 3y (х - z) (х + z) = 3 (х - z) [ (y² + z x) - y (х + z) ] = 3 (х - z) (y² + z x - yх - y z).

Во второй скобке сгруппируем пары: первое и третье, второе и четвёртое слагаемые. Вынесем в парах общие множители y и ( - z):

3 (х - z) ((y² - yх) + (z x - y z)) = 3 (х - z) (y (y - х) - z (y - х)).

В этой же скобке выносим общее выражение (y - х) и получаем произведение трёх выражений:

3 (х - z) (y - х) (y - z).

Ответ: (y - z) ³ + (z - x) ³ + (x - y) ³ = 3 (х - z) (y - х) (y - z).