дана бесконечная арифметическая прогрессия, первый член которой равен 2013, а разность равна 8. Каждый член прогрессии заменили суммой его цифр. С полученной последовательностью поступили также и действовали так до тех пор, пока не получилась последовательность однозначных чисел. а) Найдите тысячное число получившейся последовательности. б) Найдите сумму первой тысячи чисел получившейся последовательности. в) Чему может равняться наименьшая сумма 1010 чисел получившейся последовательности, идущих подряд?

Пойдём от первого пункта до последнего.

А) Если коэффициент прогрессии равен 8 то, тысячный член прогрессии равен 2013 + 8 * 1000 = 10013.

Сумма цифр: 1 + 0 + 0 + 1 + 3 = 5.

Б) Теорема. Сумма цифр числа дает такой же остаток от деления на 9, что и само число.

Следствие. Последовательность, получившаяся в задании, состоит из остатков от деления на 9 членов исходной прогрессии, в которой все нули заменены девятками.

Таким образом остаток от 2013/9 равен 6, следовательно, первый член прогрессии 6

Остаток от 8/9 = 8 поэтому второй член прогрессии равен остатку (6 + 8) / 9 = 5, третий (5 + 8) / 9 = 4, четвертый - 3, пятый - 2, шестой - 1, седьмой (1 + 8) / 9 = 0 поэтому 9, восьмой - 8, девятый - 7, десятый опять 6

Итак, последовательность периодична с периодом 9. Сумма первых 9 членов равна 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 9 + 8 + 7 = 45

сумма первых 999 (111 * 9) членов равна 111 * 45 = 4995, а сумма 1000 членов равна сумме 999 членов + A₁ (то есть 6) = 5001.

В) Так как 1010/9=112, а остаток 1010/9 = 2, то сумма любых подряд идущих членов равна 112 * 45 + сумма следующих двух членов. Для того, чтобы сумма была наибольшей нужно, чтобы 9 и 8 попали в эту двойку.

Получается 112 * 45 + 9 + 8 = 5057.