Решите уравнение х³-8 х²+8 х-1

Сгруппируем попарно 1-е и 4-е слагаемое, а также 2-е и 3-е слагаемое:

(х³ - 1) + (-8 х² + 8 х) = 0.

Для первой пары воспользуемся формулой разности кубов. Для второй пары вынесем за скобки общий множитель - 8x:

(x - 1) * (x² + x + 1) - 8x * (x - 1) = 0.

Вынесем за скобки общий множитель (x - 1):

(x - 1) * (x² + x + 1 - 8x) = 0.

Приведем подобные:

(x - 1) * (x² - 7x + 1) = 0.

Произведение двух множителей равно 0, если один из них равен нулю, а второй при этом существует. Областью определения функции является множество всех действительных чисел. Рассмотрим два варианта:

1) x - 1 = 0;

x = 1.

2) x² - 7x + 1 = 0;

D = (-7) ² - 4 * 1 * 1 = 49 - 4 = 45 = (3√5) ²;

x1 = (7 - 3√5) / (2 * 1) = 7/2 - 3√5/2;

x2 = (7 + 3√5) / (2 * 1) = 7/2 + 3√5/2.

Объединив решения, полученные в пунктах 1 и 2, получим решение исходного уравнения:

x = 1;

x = 7/2 - 3√5/2;

x = 7/2 + 3√5/2.