На каждом километре шоссе между сёлами Ёлкино и Палкино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано, сколько километров до Ёлкино, а на другой - до Палкино. Вдумчивый Наблюдатель заметил, что на каждом столбе сумма всех цифр равна 13. Каково расстояние от Ёлкино до Палкино?

Если бы сумма чисел была бы равна 13, то понятно было бы, что между поселками 13 км. Однако 13 ти равна сумма цифр с обеих сторон таблички.

На нулевом километре цифры тоже должны в сумме давать 13. Такую сумму могут давать пары чисел: 4 и 9, 5 и 8, 6 и 7. Однако все числа, образованные перечисленными парами отпадают, кроме 49, так как при большем километраже на 49 км на оборотной стороне будет число больше нуля и сумма цифр на табличках окажется более 13.

При уменьшении с одной стороны таблички числа на 1 км, на другой стороне таблички этот 1 км добавляется, при переходе через десятки на одной стороне слагаемым в части единиц будет 0, на второй стороне в единицах будет 9, а в сумме десятки всегда дадут 4. Проверим суммы цифр при переходе через десятки:

49 и 0, сумма цифр 4 + 9 + 0 = 13;

48 и 1, сумма цифр 4 + 8 + 1 = 13;

...

40 и 9, сумма цифр 4 + 0 + 9 = 13;

39 и 10, сумма цифр 3 + 9 + 1 = 13;

38 и 11, сумма цифр 3 + 8 + 1 + 1 = 13;

...

30 и 19, сумма цифр 3 + 0 + 1 + 9 = 13;

29 и 20, сумма цифр 2 + 9 + 2 + 0 = 13;

28 и 21, сумма цифр 2 + 8 + 2 + 1 = 13;

...

20 и 29, сумма цифр 2 + 0 + 2 + 9 = 13;

19 и 30, сумма цифр 1 + 9 + 3 + 0 = 13;

...

10 и 39, сумма цифр 1 + 0 + 3 + 9 = 13;

9 и 40, сумма цифр 9 + 4 + 0 = 13;

...

1 и 48, сумма цифр 1 + 4 + 8 = 13;

0 и 49, сумма цифр 0 + 4 + 9 = 13.

Ответ: между Елкино и Палкино 49 км.