3sinx+4cosx+5sin3x=0

Решим данное тригонометрическое уравнение 3 * sinx + 4 * cosx + 5 * sin (3 * x) = 0, хотя об этом явного требования в задании нет. Анализ левой части данного уравнения показывает, что к первым двум слагаемым можно применить формулу a * sinх + b * cosx = sin (x + arctg (b/a)). Имеем 3 * sinх + 4 * cosx = √ (3² + 4²) * sin (x + arctg (4/3)) = 5 * sin (x + arctg (4/3)). Теперь данное уравнение примет вид 5 * sin (x + arctg (4/3)) + 5 * sin (3 * x) = 0. Сначала поделим обе части этого уравнения на 5, а затем к левой части полученного уравнения применим формулу sinα + sinβ = 2 * sin (½ * (α + β)) * cos (½ * (α - β)) (сумма синусов). Тогда, имеем: 2 * sin (½ * (x + arctg (4/3) + 3 * х)) * cos (½ * (x + arctg (4/3) - 3 * х)) = 0 или, учитывая чётность косинуса (то есть, cos (-х) = cosх), sin (2 * x + ½ * arctg (4/3)) * cos (x - ½ * arctg (4/3)) = 0. Произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, получим два простейших тригонометрических уравнения: sin (2 * x + ½ * arctg (4/3)) = 0 и cos (x - ½ * arctg (4/3)) = 0. Выпишем решения этих уравнений: 2 * x + ½ * arctg (4/3) = π * k, где k - целое число и x - ½ * arctg (4/3) = π/2 + π * n, где n - целое число. Таким образом, решениями данного уравнения будут следующие две серии: x = - ¼ * arctg (4/3) + (π/2) * k, где k - целое число и x = ½ * arctg (4/3) + π/2 + π * n, где n - целое число.