Тригонометрия. 3sinx+4cosx=1

Используем метод вспомогательного угла. Вынесем за скобки √ (3²+4²) = 5, получим 5 (⅗sinx + ⅘cosx) = 1. Теперь введем вспомогательный угол φ такой, что cosφ = ⅗ и sinφ = ⅘ соответственно. Далее используя формулу косинуса разности двух углов получим 5 (cosφ*sinx + sinφ*cosx) = 5*cos (x - φ) = 1, откуда cos (x - φ) = ⅕ и x = ±arccos (⅕) + 2πk + φ. Из условий cosφ = ⅗ и sinφ = ⅘, находим φ = arccos (⅗). Тогда окончательный ответ:

x = ±arccos (⅕) + 2πk + arccos (⅗), k ∈ Z