Вычислите производную 2^x * cos 2x

Для вычисления производной функции: 2^x ∙ cos (2x) потребуется использовать правила дифференцирования сложных функций и правила дифференцирования произведения функций.

Правила дифференцирования

При дифференцировании заданной функции используем следующие правила:

(x^a) ' = ax^ (a-1) - правило дифференцирования степенной функции; (uv) ' = u'v + uv' - правило дифференцирования произведения функций; (f (g (x))) ' = f (x) '∙ g (x) ' - правило дифференцирования сложной функции.

Применяя эти правила, можно найти производную заданной функции.

Вычисление производной

Сначала применим правило дифференцирования произведения функций:

(2^x ∙ cos (2x)) ' = (2^x) ' ∙ (cos (2x)) + (2^x) ∙ (cos (2x)) ' =

= (2^x ∙ ln (2)) ∙ (cos (2x)) + (2^x) ∙ ( - 2sin (2x));

Производная показательной функции:

(2^x) ' = 2^x ∙ ln (2);

Производную сложной функции ищем по формуле:

(a^f (x)) ' = a^f (x) ∙ ln (a) ∙ f (x) ';

(2^x) ' = 2^x ∙ ln (2) (x) ' = 2^x ∙ ln (2);

(x) ' = 1;

(cos (2x)) ' = (cos (2x)) ' (2x) ' = - 2sin (2x);

(2x) ' = 2;

Ответ: - 2 ∙ 2^x ∙ sin (2x) + 2^x ∙ ln (2) ∙ cos (2x)