При каком значении а многочлен х^3 + ах + 1 при делении на двучлен х - а дает остаток, равный 3?

1. Пусть частное от деления многочленов равно px^2 + qx + r, а остаток - 3. Тогда:

х^3 + ах + 1 = (x - a) (px^2 + qx + r) + 3; х^3 + ах - 2 = px^3 + qx^2 + rx - apx^2 - aqx - ar; х^3 + ах - 2 = px^3 + (q - ap) x^2 + (r - aq) x - ar.

2. Приравняем коэффициенты многочленов:

{p = 1;

{q - ap = 0;

{r - aq = a;

{-ar = - 2; {p = 1;

{q - a = 0;

{r = aq + a;

{ar = 2; {p = 1;

{q = a;

{r = a^2 + a;

{a (a^2 + a) = 2.

3. Решим уравнение:

a^3 + a^2 - 2 = 0; a^3 - a^2 + 2a^2 - 2 = 0; a^2 (a - 1) + 2 (a^2 - 1) = 0; a^2 (a - 1) + 2 (a + 1) (a - 1) = 0; (a - 1) (a^2 + 2a + 2) = 0;

1) a - 1 = 0;

a = 1; p = 1; q = a = 1; r = a^2 + a = 2.

2) a^2 + 2a + 2 = 0;

D/4 = 1^2 - 2 = - 1 < 0, нет решения.

Ответ: a = 1.