Найти наименьший положительный корень уравнения: cos (5π/2 + 4x) = (√6 - 2√2) / (2√3 - 4)

Для того, чтобы найти наименьший положительный корень данного тригонометрического уравнения cos (5 * π/2 + 4 * x) = (√ (6) - 2√ (2)) / (2√ (3) - 4) сначала решим его. К левой части данного уравнения применим периодичность косинуса (наименьший положительный период которого равен 2 * π), а затем воспользуемся формулой приведения cos (π/2 + α) = - sinα. Имеем: cos (5 * π/2 + 4 * x) = cos (2 * π + π/2 + 4 * x) = cos (π/2 + 4 * x) = - sin (4 * х). Анализ правой части данного уравнения показывает, что она представляет собой дробь, где и числитель и знаменатель содержат в своём составе иррациональные компоненты. В целях избавиться от иррациональности в знаменателе, числитель и знаменатель этой дроби умножим на (2√ (3) + 4). Тогда правая часть уравнения примет вид: [ (√ (6) - 2√ (2)) * (2√ (3) + 4) ] / [ (2√ (3) - 4) * (2√ (3) + 4) ] = [√ (6) * 2√ (3) - 2√ (2) * 2√ (3) + √ (6) * 4 - 2√ (2) * 4] / [ (2√ (3)) ² - 4²] = [2√ (6 * 3) - 4 * √ (6) + 4 * √ (6) - 8√ (2) ] / (4 * 3 - 16) = (-2√ (2)) / (-4) = √ (2) / 2. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению - sin (4 * х) = √ (2) / 2 или sin (4 * х) = - √ (2) / 2. Последнее уравнение имеет следующие две серии решений: 4 * х = - π/4 + 2 * π * m, где m - целое число и 4 * х = - 3 * π/4 + 2 * π * n, где n - целое число. Поделим обе части полученных равенств решений на 4. Тогда, х = - π/16 + (π/2) * m и х = - 3 * π/16 + (π/2) * n, где m и n - целые числа. Теперь найдём наименьший положительный корень данного уравнения. Для этого рассмотрим каждую серию решений по отдельности. А) Первая серия решений. Имеем: - π/16 + (π/2) * m > 0 или m > 1/8. Наименьшее целое решение этого неравенства: m = 1. Тогда х = - π/16 + (π/2) * 1 = (-1 + 8) * π/16 = 7 * π/16. Б) Вторая серия решений. Имеем: - 3 * π/16 + (π/2) * n > 0 или n > 3/8. Наименьшее целое решение этого неравенства: n = 1. Тогда х = - 3 * π/16 + (π/2) * 1 = (-3 + 8) * π/16 = 5 * π/16. Поскольку 5 * π/16 < 7 * π/16, то наименьшим положительным корнем данного уравнения является х = 5 * π/16.

Ответ: х = 5 * π/16