При каких a уравнение будет иметь 1 корень 9^x+3^x-a=0

Преобразуем исходное уравнение 9^x + 3^х - a = 0 к следующему виду:

(3²) ^x + 3^х - a = 0;

(3^х) ² + 3^х - a = 0;

Сделав подстановку у = 3^х, получаем следующее квадратное уравнение:

у² + у - а = 0.

Поскольку выражение 3^х всегда положительно, то исходное уравнение будет иметь ровно один корень, когда квадратное уравнение у² + у - а = 0 имеет ровно один корень, являющийся положительным или имеет два корня разных знаков.

1)

Квадратное уравнение имеет ровно один корень, когда дискриминант этого уравнения равен 0.

Найдем дискриминант D данного квадратного уравнения:

D = 1² + 4a = 1 + 4a.

Найдем при каком значении а данный дискриминант равен 0:

1 + 4a = 0;

4 а = - 1;

а = - 1/4.

Находим решение квадратного уравнения при а = - 1/4:

у = - 1/2.

Данный корень является отрицательным, следовательно, значение а = - 1/4 не подходит.

2)

Квадратное уравнение имеет два корня разных знаков, когда дискриминант этого уравнения положителен, а свободный член отрицателен.

Следовательно, для уравнения у² + у - а = 0 должны выполняться следующие неравенства:

1 + 4a > 0;

a > 0.

Решением данной системы неравенств является интервал (0; + ∞).

Следовательно, исходное уравнение имеет ровно один корень при a > 0.

Ответ: данное уравнение имеет один корень при а > 0.