Решите уравние 2tg x - ctg x - 1=0

2tgx - ctgx - 1 = 0.

Представим ctgх как 1/tgх (это обратные функции).

Получается уравнение 2tgx - 1/tgx - 1 = 0.

Введем новую переменную, пусть tgx = а.

2 а - 1/а - 1 = 0.

Приведем к общему знаменателю а:

(2 а^2 - 1 - a) / а = 0;

(2 а^2 - a - 1) / а = 0.

ОДЗ: а не равно 0, значит tgx не равен 0, х не равен Пn, n - целое число.

2 а^2 - a - 1 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 2; b = - 1; c = - 1;

D = b^2 - 4ac; D = (-1) ^2 - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9 (√D = 3);

x = (-b ± √D) / 2a;

а₁ = (1 - 3) / (2 * 2) = - 2/4 = - 1/2.

а₂ = (1 + 3) / 4 = 4/4 = 1.

Возвращаемся к замене tgx = а.

1) tgx = - 1/2; х = arctg (-1/2) + Пn, n - целое число.

2) tgx = 1; х = П/4 + Пn, n - целое число.