Используя определение непрерывности функции в точке по Коши, докажите, что функция f (x) = 7x+3 непрерывна на всей числовой прямой

Возьмем произвольную точку x0, найдем предел функции в ней:

lim (f (x)) = 7 * x0 + 3.

Значение функции в этой точке равно:

f (x0) = 7 * x0 + 3.

Так как lim (f (x0)) = f (x0), то функция непрерывна в точке x0. Поскольку точка x0 была выбрана произвольным образом, то функция непрерывна на всей числовой прямой.