Найдите значение выражения 3tg²x₀-1, где x₀ - наименьший положительный корень уравнения 2cos²x+5sin x - 4=0. Решите уравнение (sin x+cos x) ²=1+cos x. В ответе укажите величину наименьшего по модулю корня уравнения, выраженную в градусах.

1)

2cos² x + 5sin x - 4 = 0 равносильно 2 - 2sin² x + 5sin x - 4 = 0, то есть:

2sin² x - 5sin x + 2 = 0.

D = 5² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9

sin x = (5 + √9) / (2 * 2) = (5 + 3) / 4 = 8 / 4 = 2 > 1. Корней нет.

или sin x = (5 - √9) / (2 * 2) = (5 - 3) / 4 = 2 / 4 = 1/2.

x = (-1) ᵏ * arcsin (1/2) + пи * k, k ∈ Z.

x = (-1) ᵏ * пи/6 + пи * k, k ∈ Z.

Наименьший положительный корень: x = пи/6, следовательно:

3tg² x₀ - 1 = 3 * tg² (пи/6) - 1 = 3 * (1/√3) ² - 1 = 3 * 1/3 - 1 = 1 - 1 = 0.

Ответ: 0.

2) (sin x + cos x) ² = 1 + cos x равносильно sin² x + 2 * sin x * cos x + cos² x = 1 + cos x,

1 + 2 * sin x * cos x = 1 + cos x,

2 * sin x * cos x - cos x = 0,

(2 * sin x - 1) * cos x = 0.

cos x = 0 или sin x = 1/2.

x = 90° + 180° * k, k ∈ Z или x = (-1) ᵏ * 30° + 180° * k, k ∈ Z.

Наименьшее по модулю значение x = 30°.

Ответ: 30°.