Геометрия 8 класс "Многоугольники" Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а) 90 градусов б) 60 градусов в) 120 градусов и г) 108 градусов

Докажем, что сумма внутренних углов n - угольника равна 180° * (n - 2).

Обозначим вершины многоугольника как V1 V2 V3 ... Vn.

Соединим вершину V1 диагоналями с вершинами V3 ... V (n-1).

Диагонали многоугольника разделят его на n - 2 треугольника, сумма углов которых, равна сумме углов n - угольника. Следовательно, сумма углов n - угольника - 180° * (n - 2).

Если в n - угольнике все углы равны К, то сумма всех его углов равна К * n.

Имеем:

180° * (n - 2) = К * n,

180° * n - 360° = K * n,

(180° - K) * n = 360°,

n = 360° / (180° - K).

а) Если все углы равны 90°, то n = 360° / (180° - K) = 360° / (180° - 90°) = 4.

б) Если все углы равны 60°, то n = 360° / (180° - K) = 360° / (180° - 60°) = 3.

в) Если все углы равны 120°, то n = 360° / (180° - K) = 360° / (180° - 120°) = 6.

г) Если все углы равны 108°, то n = 360° / (180° - K) = 360° / (180° - 108°) = 5.