Решить уравнение 2sin^2x+7sinx+3=0

2 sin^2 x + 7 sin x + 3 = 0;

введем новую переменную sin x = y;

2 у^2 + 7 у + 3 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = 7^2 - 4 * 2 * 3 = 49 - 24 = 25; √D = 5;

x = ( - b ± √D) / (2a);

у1 = ( - 7 + 5) / (2 * 2) = - 2/4 = - 1/2;

у2 = ( - 7 - 5) / 4 = - 12/4 = - 3.

Выполним обратную подстановку:

1) sin x = - 1/2 - простейшее тригонометрическое уравнение, решается оно по формуле sin x = a, x = ( - 1) ^k * arcsin a + Пk, k ∈ Z;

x = ( - 1) ^k * arcsin ( - 1/2) + Пk, k ∈ Z;

x = ( - 1) ^k * ( - П/6) + Пk, k ∈ Z;

х = ( - 1) ^ (k + 1) * П/6 + Пk, k ∈ Z;

2) sin x = - 3 - так как область значений синуса [ - 1; + 1], то это уравнение не имеет смысла, и значит не имеет корней.

Ответ. ( - 1) ^ (k + 1) * П/6 + Пk, k ∈ Z.