Решите систему (2^x+2^y=6 x+y=3

2^x + 2^y = 6; x + y = 3.

1) Выразим у из второго уравнения: у = 3 - х.

Подставим у = 3 - х в первое уравнение:

2^x + 2^ (3 - х) = 6;

2^x + 2^3 * 2^ (-х) = 6;

2^x + 8/2^х = 6.

2) Произведем замену, пусть 2^x = а.

Получается уравнение а + 8/а = 6; а - 6 + 8/а = 0.

Приведем уравнение к общему знаменателю:

(а^2 - 6 а + 8) / а = 0.

ОДЗ: а не равно нулю.

а^2 - 6 а + 8 = 0.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = - 6; c = 8;

D = b^2 - 4ac; D = (-6) ^2 - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4 (√D = 2);

x = (-b ± √D) / 2a;

а₁ = (6 - 2) / 2 = 2;

а₂ = (6 + 2) / 2 = 4.

3) Возвращаемся к замене 2^x = а:

2^x = 2; 2^x = 2^1; x₁ = 1.

2^x = 4; 2^x = 2^2; x₂ = 2.

4) Найдем значение у: у = 3 - х.

у₁ = 3 - 1 = 2.

у₂ = 3 - 2 = 1.

Ответ: (1; 2) и (2; 1).