Докажите, что многочлен принимает лишь неотрицательные значения а^2+2ab+1+2b^2-2b

Перепишем многочлен, разложив слагаемое 2b^2 на две части и поменяв порядок слагаемых:

а^2 + 2ab + 1 + 2b^2 - 2b =

= (а^2 + 2ab + b^2) + (b^2 - 2b + 1) =

= (a + b) ^2 + (b - 1) ^2.

Мы видоизменили многочлен так, что он в своем составе имеет только квадраты двучленов, которые всегда неотрицательны.