Вычислите cos ((pi/3) + 2A), если tgA = (корень из 3) / 2

Воспользуемся формулой косинуса суммы двух угол cos (α + β) = cosα * cosβ - sinα * sinβ.

cos ((π/3) + 2A) = cos (π/3) * cos2A - sin (π/3) * sin2A.

Поскольку cos (π/3) = 1/2, sin (π/3) = √3/2, то:

cos (π/3) * cos2A - sin (π/3) * sin2A = 1/2 * cos2A - √3/2 * sin2A.

Согласно условию задачи, tgA = √3/2.

Используя соотношения

sin2A = 2tgA / (1 + tg²A),

cos2A = (1 - tg²A) / (1 + tg²A),

получаем:

sin2A = 2tgA / (1 + tg²A) = 2 * (√3/2) / (1 + (√3/2) ²) = √3 / (1 + 3/4) = √3 / (7/4) = √3 * 4 / 7,

cos2A = (1 - tg²A) / (1 + tg²A) = (1 - (√3/2) ²) / (1 + (√3/2) ²) = (1 - 3/4) / (1 + 3/4) = (1/4) / (7/4) = 1/7.

Подставляя полученные значения в выражение 1/2 * cos2A - √3/2 * sin2A, получаем:

1/2 * cos2A - √3/2 * sin2A = 1/2 * 1/7 - √3/2 * √3 * 4 / 7 = 1/14 - 12/14 = - 11/14.

Ответ: - 11/14.