В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 5, боковое ребро равно 13. найдите ее объем

Высота правильной четырехугольной пирамиды соединяет вершину пирамиды и точку пересечения диагоналей (которая делит их пополам). Треугольник, образованный высотой, боковым ребром пирамиды и половинкой диагонали прямоугольный, причем боковое ребро является гипотенузой. Воспользовавшись теоремой Пифагора, найдем длину половины диагонали квадрата, лежащего в основании пирамиды:

√ (13^2 - 5^2) = √ (169 - 25) = √144 = 12.

Две соседние половинки диагоналей и сторона квадрата, лежащего в основании пирамиды также образуют прямоугольный треугольник, причем сторона квадрата является гипотенузой. Найдем длину стороны квадрата, воспользовавшись теоремой Пифагора:

√ (12^2 + 12^2) = √ (144 * 2) = 12√2.

Объем правильной четырехугольной пирамиды равен одной третьей от произведения квадрата стороны правильного четырехугольника, лежащего в основании, на высоту пирамиды:

1/3 * (12√2) ^2 * 5 = 1/3 * 144 * 2 * 5 = 48 * 10 = 480.

Ответ: 480.