Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=6 / (x+2) на отрезке [-1/2; -1/3]

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции y = 6 / (x + 2) на отрезке [ - 1/2; - 1/3].

1) y ' = (6 / (x + 2)) ' = (6 * (x + 2) ^ ( - 1)) ' = 6 * ( - 1) * (x + 2) ^ ( - 2) = - 6 / (x + 2) ^ 2;

2) - 6 / (x + 2) ^ 2 = 0;

x + 2 = 0;

Известные значения переносим на одну сторону, а неизвестные на другую сторону. При переносе значений, их знаки меняются на противоположный знак. То есть получаем:

x = - 2 не принадлежит [ - 1/2; - 1/3];

3) y ( - 1/2) = 6 / ( - 1/2 + 2) = 6 / (2 - 1/2) = 6 / (3/2) = 6 * 2/3 = 12/3 = 4;

y ( - 1/3) = 6 / ( - 1/3 + 2) = 6 / (2 - 1/3) = 6 / (5/3) = 6 * 3/5 = 18/5;

Ответ: y min = 18/5 и y max = 4.

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = 6 / (х + 2), на отрезке [ - 1/2; - 1/3].

Найдем точки экстремума функции

Сначала нужно найти точки экстремума функции, т. е. такие точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Найдем производную функции

Для нахождения производной воспользуемся формулой:

(1 / (ax + b)) ' = - a / (ax + b) ².

Тогда:

y' = (6 / (х + 2)) ' = - 6 / (х + 2) ².

Точки экстремума y' = 0. т. е. - 6 / (х + 2) ² = 0; корней нет. y' не существует, т. е. х + 2 = 0, х = - 2. получим: х = - 2 - точка экстремума функции.

В точке х = - 2 функция не определена.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке достигается либо в точке экстремума, либо на концах отрезка.

Т. к. в точке х = - 2 функция не определена и эта точка не принадлежит промежутку [ - 1/2; - 1/3], поэтому рассмотрим значение функции на концах.

При х = - 1/2, у = 6 / (-1/2 + 2) = 4. При х = - 1/3, у = 6 / (-1/3 + 2) = 18/5 = 3,6. Таким образом, y_наим = у (-1/3) = 3,6, y_наиб = у (-1/2) = 4.

Ответ: y_наим = 3,6, y_наиб = 4.