Решите нервенства: 1) х-2/х-3>х-3/х-2 2) (х-2) (х2-3 х+7) > (х-2) (х2+х-5) 3) (х2-16) (х2-4 х+4) <0 4) х2-х-2/х-2>0 5) х2/х-2>-4/2-х.

1) (х - 2) / (х - 3) > (х - 3) / (х - 2).

Перенесем все в левую часть неравенства:

(х - 2) / (х - 3) - (х - 3) / (х - 2) > 0.

Приведем дроби к общему знаменателю:

((х - 2) (х - 2) - (х - 3) (х - 3)) / (х - 3) (х - 2) > 0.

Раскрываем скобки и подводим подобные слагаемые:

(х^2 - 4 х + 4 - х^2 + 6 х - 9) / (х - 3) (х - 2) > 0;

(2 х - 5) / (х - 3) (х - 2) > 0. Решаем неравенство методом интервалов.

Найдем корни неравенства:

2 х - 5 = 0; 2 х = 5; х = 2,5.

х - 3 = 0; х = 3.

х - 2 = 0; х = 2.

Отмечаем на числовой прямой точки 2, 2,5 и 3, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(-) 2 (+) 2,5 (-) 3 (+).

Так как знак неравенства > 0, то отбираем участки со знаком плюс: (2; 2,5) и (3; + ∞).

2) (х - 2) (х^2 - 3 х + 7) > (х - 2) (х^2 + х - 5).

Перенесем все в левую часть:

(х - 2) (х^2 - 3 х + 7) - (х - 2) (х^2 + х - 5) > 0.

Вынесем общий множитель (х - 2) за скобку:

(х - 2) (х^2 - 3 х + 7 - х^2 - х + 5) > 0;

(х - 2) (-4 х + 12) > 0.

Вынесем минус из второй скобки и умножим неравенство на (-1), перевернув знак неравенства:

- (х - 2) (4 х - 12) > 0;

(х - 2) (4 х - 12) < 0.

Корни неравенства: х - 2 = 0; х = 2.

4 х - 12 = 0; 4 х = 12; х = 3.

Отмечаем на прямой точки 2 и 3, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки:

(+) 2 (-) 3 (+).

Так как знак неравенства < 0, то отбираем участки со знаком минус: (2; 3).

3) (х^2 - 16) (х^2 - 4 х + 4) < 0.

Разложим первую скобку: х^2 - 16 = х^2 - 4^2 = (х - 4) (х + 4).

Разложим вторую скобку на множители: х^2 - 4 х + 4 = (х - х₁) (х - х₂).

D = b^2 - 4ac; D = 16 - 16 = 0;

х = (-b) / 2a = 4/2 = 2.

Значит, х^2 - 4 х + 4 = (х - 2) ^2.

Получается неравенство (х - 4) (х + 4) (х - 2) ^2 < 0.

Так как (х - 2) ^2 всегда положительно, то получается (х - 4) (х + 4) < 0.

Корни неравенства равны 4 и - 4. Знаки интервалов: (+) - 4 (-) 4 (+).

Так как знак неравенства < 0, то решением неравенства будет промежуток (-4; 4).

4) (х^2 - х - 2) / (х - 2) > 0.

Разложим на множители числитель: х^2 - х - 2 = (х - х₁) (х - х₂).

Корни квадратного трехчлена: по теореме Виета х₁ + х₂ = 1, х₁ * х₂ = - 2. Отсюда корни равны 2 и - 1.

Значит, х^2 - х - 2 = (х - 2) (х + 1).

Неравенство имеет вид (х - 2) (х + 1) / (х - 2) > 0.

Скобку (х - 2) можно сократить, тогда ОДЗ: х не равен 2 (делить на ноль нельзя).

Получается, что х + 1 > 0; х > - 1.

Учитывая ОДЗ, решением неравенства будут промежутки (-1; 2) и (2; + ∞).

5) х^2 / (х - 2) > - 4 / (2 - х).

Вынесем минус из второго знаменателя.

х^2 / (х - 2) > - 4 / - (х - 2); х^2 / (х - 2) > 4 / (х - 2).

Перенесем все в левую часть:

х^2 / (х - 2) - 4 / (х - 2) > 0.

Приведем к общему знаменателю:

(х^2 - 4) / (х - 2) > 0.

Разложим числитель на две скобки:

(х - 2) (х + 2) / (х - 2) > 0.

Скобку (х - 2) можно сократить, тогда ОДЗ: х не равно 2.

Отсюда следует, что х + 2 > 0; х > - 2.

Учитывая ОДЗ, решение неравенства: (-2; 2) и (2; + ∞).