Cos^2 (3x) + 3sin (3x) = 3 Как решить?

Применим формулу основного тождества тригонометрической функций:

cos² 3x + 3sin 3x = 3;

cos² 3x + 3sin 3x - 3 = 0;

sin² 3x + cos² 3x = 1;

cos² 3x = 1 - sin² 3x;

(1 - sin² 3x) + 3sin 3x - 3 = 0;

- sin² 3x + 3sin 3x - 2 = 0;

sin² 3x - 3sin 3x + 2 = 0;

Выполним замену sin 3x = а, и приведем квадратное уравнение к стандартному виду:

а² - 3 а + 2 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = ( - 3) ² - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1;

D › 0, значит:

а1 = (3 - √1) / 2 * 1 = (3 - 1) / 2 = 2 / 2 = 1;

а2 = (3 + √1) / 2 * 1 = (3 + 1) / 2 = 4 / 2 = 2;

Тогда, если а1 = 1, то:

sin 3x = 1;

3 х = ( - 1) ⁿ arcsin (1) + πn, n ∈ Z;

Воспользуемся частным случаем:

3 х = π/2 + 2πn, n ∈ Z;

х = π/6 + 2π/3 * n, n ∈ Z;

если а2 = 2, то условие sin 3x = а, |а| ≤ 1, не выполняется, значит этот корень не подходит;

Ответ: х = π/6 + 2π/3 * n, n ∈ Z.