По большому листу бумаги прыгают два маленьких инопланетянина. 1-ый сначала прыгает вправо, потом вверх, потом вниз. потом снова вправо и т. д. При этом каждый прыжок у него на 1 см длиннее предыдущего. А второй прыгает сначала влево, потом вверх, потом снова влево, потом вниз, потом снова влево, потом снова вверх и т. д. и у него тоже каждый прыжок на 1 см длиннее предыдущего. Изначально они находились в одной точке, прыгать начали одновременно, а первые прыжки у них были одинаковой длины. На икоком расстоянии будут находиться инопланетяне после того, как каждый сделает по 2016 прыжков?

Допустим, инопланетяне изначально находились в центре координатной плоскости, N = 2016, z - длина первого прыжка.

Заметим, что длины прыжков составляют арифметическую прогрессию:

z1 = z; d = 1, где z1 - первый член, а d - разность.

Прыжки первого инопланетянина вправо на z см; вверх на z + 1 см; вниз на z + 2 см.

После трех прыжков он передвигается вправо на z см и вниз на 1 см. Так повторяется через каждые три прыжка, только прыжок вправо будет на 3 см длиннее предыдущего.

Составим новую прогрессию для этих циклов:

a1 = z; d = 3; N1 = N / 3 = 672, где N1 - число таких циклов.

Вычислим сумму первых N1 членов этой прогрессии:

S1 = N / 6 * (2z + 2013).

После всех прыжков он будет в точке с координатами:

x1 = S1 = N / 6 * (2x + 2013);

y1 = 672 * (-1) = - 672.

Прыжки второго инопланетянина влево на z см; вверх на z + 1 см; влево на z + 2 см; вниз на z + 3 см.

После четырех прыжков он передвигается влево на 2z + 2 см и вниз на 2 см. Так повторяется через каждые четыре прыжка, только прыжок влево будет на 4 см длиннее предыдущего.

Составим новую прогрессию для этих циклов:

b1 = z; d = 4; N2 = N / 4 = 504, где N2 - число таких циклов.

Вычислим сумму первых N2 членов этой прогрессии:

S2 = N / 2 * (z + 1006).

После всех прыжков он будет в точке с координатами:

x2 = - S2 = - N / 2 * (z + 1006);

y2 = - 1008.

Расстояние между инопланетянами

Расстояние между инопланетянами определяется формулой:

S = √ ((x1 - x2) ² + (y1 - y2) ²).

S = 336 * √ ((5z+5031) ² + 1).

Ответ: 336 * √ ((5z+5031) ² + 1).