Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у=2cos2x+cos^2x

1. Воспользуемся формулой для двойного угла косинус:

cos (2x) = 2cos^2 (x) - 1;

2cos^2 (x) = 1 + cos (2x);

cos^2 (x) = 0,5 + 0,5cos (2x).

y = 2cos (2x) + cos^2 (x);

y = 2cos (2x) + 0,5 + 0,5cos (2x);

y = 2,5cos (2x) + 0,5.

2. Область значений функции косинус:

-1 ≤ cos (2x) ≤ 1. (1)

3. Умножим двойное неравенство (1) на 2,5, затем прибавим ко всем частям 0,5:

-2,5 ≤ 2,5cos (2x) ≤ 2,5;

-2,5 + 0,5 ≤ 2,5cos (2x) + 0,5 ≤ 2,5 + 0,5;

-2 ≤ 2,5cos (2x) + 0,5 ≤ 3;

-2 ≤ y ≤ 3;

y ∈ [-2; 3].

Ответ: [-2; 3].