Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны соответ - ственно 15 и 12, а основание LM=3. Биссектриса угла NKL про - ходит через середину стороны MN. Найдите площадь трапеции.

Пусть биссектриса угла NKL пересекает сторону МN в точке Е.

Прямая КЕ пересекает продолжение меньшего основания LM в точке С.

Прямая LC параллельна KN.

∠ LCK = ∠ CKN как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей СК.

Но ∠ СКN = ∠ CKL по условию (СК - биссектриса угла NKL).

∠ LKC = ∠ LCK;

Треугольник KLC - равнобедренный;

КL = LC = 15;

МС = LC - LM = 15 - 3 = 12;

∠ СМЕ = ∠ ЕNK как накрестлежащие при параллельных LC и KN и секущей MN.

ME = EN по условию;

Углы при Е равны как вертикальные;

Треугольники MCE и KNE равны по стороне и прилежащим к ней углам KN = MC = 12;

Из вершины L проведем LH параллельно MN;

NH = LM = 3 как стороны параллелограмма LMNH;

LH = MN = 12 как стороны параллелограмма (по построению);

КН = KN - NH;

КН = 12 - 3 = 9;

В треугольнике КLH отношение сторон КН : LH : KL = 3:4:5.

Это отношение прямоугольного (египетского) треугольника. (можно проверить по т. Пифагора)

⇒⊿ КLH прямоугольный, LH перпендикулярна КN и является высотой трапеции KLMN.

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований.

S = LH * (LM + KN) : 2;

S (KLMN) = 12 * (3 + 12) : 2 = 90 (единиц площади).

Ответ: Площадь трапеции 90 единиц площади.