1. найти наименьший положительный период функции y=cosx/12 * cos (П/2 - x/12) 2. докажите что верно равенство cos 3L - cos 5L / sin 3L - sin5L = - tg4L

Для того, чтобы найти наименьший положительный период функции у = cos (x / 12) * cos (π/2 - x / 12), сначала преобразуем данную функцию. Воспользуемся формулой приведения cos (π/2 - α) = sinα. Тогда у = cos (x / 12) * sin (x / 12). Применяя формулу sin (2 * α) = 2 * sinα * cosα (синус двойного угла), получим у = 0,5 * sin (2 * x / 12) = 0,5 * sin (x / 6). Теперь вспомним о том, что для функции y = sinх наименьшим положительным периодом является Т = 2 * π. Это означает, что при наименьшем Т = 2 * π выполняется равенство sin (х + Т) = sinх. Предположим, что для полученной функции у = 0,5 * sin (x / 6) угол Т₀ является наименьшим положительным периодом. Тогда, 0,5 * sin ((x + Т₀) / 6) = 0,5 * sin (x / 6). Имеем (x + Т₀) / 6 = x / 6 + 2 * π или Т₀ / 6 = 2 * π, откуда Т₀ = (2 * π) * 6 = 12 * π. Прежде всего, предположим, что обе части доказываемого равенства имеют смысл. Воспользуемся формулами: cosα - cosβ = - 2 * sin (½ * (α + β)) * sin (½ * (α - β)) (разность косинусов), sınα - sınβ = 2 * sın (½ * (α - β)) * cos (½ * (α + β)) (сумма разность синусов) и tgα = sinα / cosα. Тогда, левая часть доказываемого равенства примет вид: (cos (3 * L) - cos (5 * L)) / (sin (3 * L) - sin (5 * L)) = [-2 * sin (½ * (3 * L + 5 * L)) * sin (½ * (3 * L - 5 * L)) ] / [2 * sın (½ * (3 * L - 5 * L)) * cos (½ * (3 * L + 5 * L)) ] = (-sin (4 * L) * sin (-L)) / (sin (-L) * cos (4 * L)) = - sin (4 * L) / cos (4 * L) = - tg (4 * L). Что и требовалось доказать.

Ответ: 1. Наименьшим положительным периодом функции у = cos (x / 12) * cos (π/2 - x / 12) является 12 * π. 2. Доказательство приведено в п. 2.