Доказать, что в треугольнике с вершинами А1 (2; 1) А2 (6; -1) и А3 (5; 7) прямоугольный.

Рассмотрим векторы OA1, OA2 и OA3, где O - начало координат.

Тогда векторы

A1A2 = OA2 - OA1 = (6 - 2, - 1 - 1) = (4, - 2),

A2A3 = OA3 - OA2 = (5 - 6, 7 - (-1)) = (-1, 8),

A1A3 = OA3 - OA1 = (5 - 2, 7 - 1) = (3, 6).

Заметим, что скалярное произведение векторов A1A2 и A1A3 равно:

A1A2 * A1A3 = 4 * 3 + (-2) * 6 = 12 - 12 = 0.

Следовательно, так как A1A2 * A1A3 = |A1A2| * |A1A3| * cos (A2A1A3) = 0,

то cos (A2A1A3) = 0 и угол A2A1A3 = 90°. Значит, треугольник A1A2A3 - прямоугольный с прямым углом A2A1A3.