x в степени logx по основанию 3 = 9x

х ^{log_з x} = 9x, прологарифмируем обе части уравнения; ОДЗ: х>0;

log₃ (х ^{log_з x}) = log₃ (9 * x), слева воспользуемся формулой log_а b^с = с * log_а b, а в правой

части формулой суммы log_a (b * c) = log_a b + log_a c;

log₃ х * log₃ х = log₃ 9 + log₃ х;

(log₃ х) ² - log₃ х - 2 = 0, произведем замену log₃ х = у;

у² - у - 2 = 0;

у = ^{1 ± √ (1 + 8)} /₂;

у = ^{1 ± 3}/₂;

у = 2 и у = - 1, обратная замена;

log₃ х = 2;

х = 3² = 9.

log₃ х = - 1;

х = 3 ^-1 = ¹/₃.

Ответ: х = 9; х = ¹/₃.