Пусть p (x) - многочлен степени k и при всех значениях x справедливо равенство p (-x) = -p (x). Докажите, что: а) k-четное натуральное число или нуль; б) коэффициенты многочлена p (x) при нечетных степенях x равны 0.

По условию задачи имеем, что для многочлена p (x):

p (x) = a0 * x^k + a1 * x^ (k - 1) + a2 * x^ (k - 2) + ... + a (k - 1) * x + ak,

выполняется равенство p (x) = p (-x) при всех значениях x.

Докажем сначала утверждение из пункта Б).

Имеем:

p (x) = a0 * x^k + a1 * x^ (k - 1) + a2 * x^ (k - 2) + ... + a (k - 1) * x + ak,

p (-x) = a0 * (-x) ^k + a1 * (-x) ^ (k - 1) + a2 * (-x) ^ (k - 2) + ... + a (k - 1) * (-x) + ak.

Рассмотрим многочлен q (x) = p (x) - p (-x).

Ясно, что q (x) - многочлен и q (x) = 0 при любом значении x.

Заметим, что при четном n:

x^n = (-x) ^n,

а при нечетном n:

x^n = - (-x) ^n.

Тогда многочлен q (x) = b0 * x^ (2 * m + 1) + b1 * x^ (2 * m - 1) + ... 2 * a (k - 1) * x,

где bm - удвоенный коэффициент при нечетной степени x^k многочлена p (x).

Очевидно, что так как q (x) = 0 при любом x, то все коэффициенты равны 0.

A) Утверждение прямо следует из утверждения Б.

Если все коэффициенты при нечетных степенях равны нулю, то остаются все коэффициенты при четных степенях х, а значит и k либо четное, либо равно 0.