Lg^2 (10x) - log0,1 (x) - 5=0

Приведем уравнение к удобному виду.

Lg² (10x) - log_0,1 (x) - 5 = 0.

Преобразуем log_0,1 (x).

log_0,1 (x) = - log₁₀ (x) = - lg (x).

Преобразуем Lg² (10x), используя свойство умножения логарифмов с одинаковыми основаниями.

Lg² (10x) = (Lg (10x)) ² = (lg 10 + lg (x)) ² = (1 + lg (x)) ² = 1 + 2lg (x) + lg² (x).

Подставим полученные значения в первоначальное уравнение.

1 + 2lg (x) + lg² (x) - ( - lg (x)) - 5 = 0.

lg² (x) + 3lg (x) - 4 = 0.

Произведем замену lg (x) = у.

У² + 3 у - 4 = 0.

Вычислим дискриминант.

D = 3² - 4 * 1 * (-4) = 25 = 5².

У₁ = (-3 + 5) / 2 = 1.

У₂ = (-3 - 5) / 2 = - 4.

Подставим полученные корни в lg (x) = у.

1) lg (x) = 1.

Х = 10¹.

Х₁ = 10.

2) lg (x) = - 4.

Х = 10^-4.

Х₂ = 0,0001.

Ответ: Х₁ = 10; Х₂ = 0,0001.