n1 a) 6-х/х-2=х^2/х-2 б) x^2+3x-4/x^2-16=8/x-4 n2 Туристы проплыли на моторной лодке против течения реки 12 км и вернулись обратно. На все путешествие они затратили 2 ч 30 мин. Какова собственная скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч?

1) a) (6 - х) / (х - 2) = х^2 / (х - 2).

Поделим уравнение на (х - 2). ОДЗ: (х - 2) не равно 0, х не равно 2.

Получается уравнение: 6 - х = х^2.

Перенесем все в одну часть:

х^2 + х - 6 = 0.

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = - 1; х₁ * х₂ = 6.

Так как - 3 + 2 = - 1 и - 3 * 2 = - 6, то х₁ = - 3 и х₂ = 2 (не подходит по ОДЗ).

Ответ: корень уравнения равен - 3.

б) (x^2 + 3x - 4) / (x^2 - 16) = 8 / (x - 4).

Разложим (x^2 + 3x - 4) на множители по формуле ax^2 + bx + c = (x - x₁) (x - x₂), где x₁ и x₂ - это корни квадратного трехчлена.

Подберем корни с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = - 3; х₁ * х₂ = - 4.

Так как - 4 + 1 = - 3 и - 4 * 1 = - 4, то х₁ = - 4 и х₂ = 1.

Значит, x^2 + 3x - 4 = (х + 4) (х - 1).

Разложим (x^2 - 16) на множители по формуле разности квадратов:

x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (х - 4) (х + 4).

Получается уравнение:

(х + 4) (х - 1) / (х - 4) (х + 4) = 8 / (x - 4).

Скобку (х + 4) можно сократить, получается (х - 1) / (х - 4) = 8 / (x - 4).

Умножаем уравнение на (х - 4), ОДЗ: х не равен 4.

х - 1 = 8; х = 8 + 1; х = 9.

Ответ: корень уравнения равен 9.

2) Обозначим собственную скорость лодки за х. Тогда по течению она пойдет со скоростью (х + 2) км/ч, а против течения (х - 2) км/ч.

Выразим время движения лодки по течению: 12 / (х + 2) часов.

Время движения лодки обратно (против течения) : 12 / (х - 2) часов.

На весь путь туристы затратили 2 часа 30 минут = 2,5 часа.

Составляем уравнение: 12 / (х + 2) + 12 / (х - 2) = 2,5.

(12 (х - 2) + 12 (х + 2)) / (х + 2) (х - 2) = 2,5;

(12 х - 24 + 12 х + 24) / (х^2 - 4) = 2,5;

24 х / (х^2 - 4) = 2,5.

по правилу пропорции: 2,5 (х^2 - 4) = 24x.

2,5 х^2 - 10 - 24x = 0.

Умножим уравнение на 2:

5 х^2 - 48x - 20 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 5; b = - 48; c = - 20;

D = b^2 - 4ac; D = (-48) ^2 - 4 * 5 * (-20) = 2304 + 400 = 2704 (√D = 52);

x = (-b ± √D) / 2a;

х₁ = (48 - 52) / (2 * 5) = - 4/10 (отрицательный корень, не подходит).

х₂ = (48 + 52) / 10 = 100/10 = 10 (км/ч).

Ответ: собственная скорость лодки равна 10 км/ч.