Найти наименьшее значение функции f (x) = - 3 + sin2x*cos3x - cos2x*sin3x

Рассмотрим тригонометрическую функцию f (x) = - 3 + sin (2 * x) * cos (3 * x) - cos (2 * x) * sin (3 x). Анализ формулы данной функции показывает, что она является алгебраической суммой трёх слагаемых, причем два последних слагаемых вместе взятые, напоминают правую часть формулы sin (α - β) = sinα * cosβ - cosα * sinβ (синус разности). Применяя вышеприведённую формулу, получим: f (x) = - 3 + sin (2 * x - 3 * х) = - 3 + sin (-х). Вспомним, что синус функция нечётна, то есть, для всех х ∈ (-∞; + ∞) справедливо sin (-х) = - sinx. Итак, f (x) = - 3 - sinx = - (3 + sinx). Как известно, для любого х ∈ (-∞; + ∞) справедливо неравенство - 1 ≤ sinx ≤ 1. Прибавим ко всем частям (левой, средней и правой) последнего двойного неравенства 3. Тогда, имеем: 2 ≤ 3 + sinx ≤ 4. Умножая все части полученного двойного неравенства на - 1 < 0, получим - 4 ≤ f (x) ≤ - 2 для любого х ∈ (-∞; + ∞). Таким образом, наименьшее значение данной функции равно - 4.

Ответ: - 4.