Найдите корни уравнения на заданном промежутке: cos^2 (3x+pi/4) - sin^2 (3x+pi/4) + sqrt3/2=0 x Э [3 П/4; П]

Рассмотрим тригонометрическое уравнение cos² (3 * x + π/4) - sin² (3 * x + π/4) + √ (3) / 2 = 0. Используя формулу cos (2 * α) = cos²α - sin²α (косинус двойного угла) перепишем данное уравнение в виде cos (2 * (3 * x + π/4)) = - √ (3) / 2 или cos (6 * x + π/2) = - √ (3) / 2. Воспользуемся следующей формулой приведения cos (π/2 + α) = - sinα. Тогда, последнее уравнение примет вид - sin (6 * x) = - √ (3) / 2 или sin (6 * x) = √ (3) / 2. К полученному уравнению применим решение простейшего тригонометрического уравнения sinx = √ (3) / 2, которое имеет следующие две серии решений: х₁ = π/3 + 2 * π * n и х₂ = 2 * π/3 + 2 * π * n, где n ∈ Z, Z - множество целых чисел. Применительно к нашему примеру, имеем: 6 * х₁ = π/3 + 2 * π * n и 6 * х₂ = 2 * π/3 + 2 * π * n, откуда х₁ = π/18 + (π/3) * n и х₂ = π/9 + (π/3) * n.

Ответ: х = π/18 + (π/3) * n и х = π/9 + (π/3) * n, где n ∈ Z, Z - множество целых чисел.