В геометрической прогрессии известно, что S4 = 20, S8=50. Найдите S12

Для решения задания сначала необходимо найти знаменатель геометрической прогрессии q.

Для этого выразим через формулу n-ного члена геометрической прогрессии известные нам члены:

S4 = b₁ * q^4-1

S8 = b1 * q^8-1

Заметим, что в обеих формулах присутствует b₁. Выразим этот член из каждой формулы:

b₁ = S4 / q3

b1 = S8 / q⁷

Так как левые части уравнений равны, то приравняем правые:

S4 / q3 = S8 / q⁷

Умножим обе части уравнения на q7, чтобы избавиться от знаменателя, получим:

S4 * q⁴ = S8

Выразим из этого уравнения q: для этого разделим обе части на S4 и извлечем корень четвертой степени

q = корень 4 степени (S8 / S4)

Подставим числа:

q = корень 4 степени (50/20) = корень 4 степени (2,5) ~ 1,26

Зная q, найдем первый член геометрической прогрессии. Для этого выразим его из любого известного нам члена, например из S4:

S4 = b₁ * q³

b1 = S4 / q3

b₁ = 20 / (корень 4 степени (2,5)) ³ = 20 / 1,98 ~ 10,10

Найдем S12:

S12 = b₁ * q¹¹ = 10,10 * 12,43 ~ 125,5