Найдите, при каком значении a уравнение х² - (a+3) * x+a+5=0 имеет два положительных корня, один из которых в два раза больше другого.

Для решения задачи используем теорему Виета: х₁ * х₂ = p; х₁ + х₂ = q.

Обозначим первый корень уравнения через х₁, тогда из условия задачи второй корень будет равен 2 х₁.

Из теоремы Виета следует, что х₁ + 2 х₁ = а + 3 → 3 х₁ = а + 3 → х₁ = (а + 3) / 3 и

х₁ * 2 х₁ = а + 5 → 2 (х₁) ² = а + 5 → (х₁) ² = (а + 5) / 2.

Получается тогда, что: х₁ = (а + 3) / 3 и х₁ = √ ((а + 5) / 2) → ((а + 3) / 3) ² = (а + 5) / 2.

Раскрываем скобки, приведём подобные члены и получаем квадратное уравнение:

2 а² + 3 а - 27 = 0.

Найдем корни этого уравнения: D = 225; a₁ = - 4,5; a₂ = 3.

Проверим полученные корни: при а = - 4,5 получаем уравнение

х ² + 1,5 х - 0,5 = 0, корни которого - 1 и - 1/2, они удовлетворяют условию задачи.

При а = 3 получаем уравнение х² + 6 х + 8 = 0, его корни 2 и 4, тоже удовлетворяют условию задачи.

Ответ: - 4,5; 3.