Как решить? (1 - 1/4) (1 - 1/9) (1 - 1/16) ... (1 - 1/225) ?

Question

Гость

Математика

25 января, 03:37

Как решить? (1 - 1/4) (1 - 1/9) (1 - 1/16) ... (1 - 1/225) ?

+2

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Todes · Answer 1

Проанализируем выражение:

(1 - 1/4) * (1 - 1/9) * (1 - 1/16) * ... * (1 - 1/225).

В скобках мы имеем выражение С _n-1 = 1 - 1 / n², при этом 2 < = n < = 15.

Выражение в скобках можно преобразовать в С _n-1 = (n² - 1) / n².

Всего скобок (членов ряда) = 15 - 1 = 14.

Перепишем ряд, приведя его к виду С _n-1 = (n² - 1) / n², а затем представим в виде перемножения простых дробей, проанализируем результат:

(4 - 1) * (9 - 1) * (16 - 1) * ... * (225 - 1) / (2 * 3 * 4 * ... * 15) ² = 3 * 8 * 15 * 24 * 35 * 48 * 63 * 80 * 99 * 120 * 143 * 168 * 195 * 225 / (2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 * 12 * 13 * 14 * 15) ² = 3 * 8 * 15 * 24 * 35 * 48 * 63 * 80 * 99 * 120 * 143 * 168 * 195 * 225 / (2² * 3² * 4² * 5² * 6² * 7² * 8² * 9² * 10² * 11² * 12² * 13² * 14² * 15² = (3/2²) * (8/3²) * (15/4²) * (24/5²) * (35/6²) * (48/7²) * (63/8²) * (80/9²) * (99/10²) * (120/11²) * (143/12²) * (168/13²) * (195/14²) * (224/15²).

Сразу видно, что числитель первой дроби сокращается со знаменателем второй дроби (в знаменателе остается 3). Когда ряд переписан в виде обычных дробей, видно, что корень из знаменателя члена n-1 (равный n-1), умноженный на корень из знаменателя члена n+1 (равный n+1), дает числитель члена n (равный n² - 1), следовательно все члены ряда в знаменателе и числителе сокращаются, в числителе и знаменателе после сокращений останется от последнего члена 224/15, от предпоследнего и первого членов в знаменателе останется 2 и 14. Оставшиеся в числителе 224 делятся на 28 (14 * 2):

224 / (2 * 14 * 15) = 8 / 15.