Докажите, что (2-log (3) 225) (2-log (5) 225) = 4

Левую часть доказываемого равенства обозначим через А = (2 - log₃225) * (2 - log₅225). Поскольку 225 = 15² = (3 * 5) ², то применяя формулы log_a (b * с) = log_ab + log_aс, где а > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, и log_abⁿ = n * log_ab, где а > 0, a ≠ 1, b > 0, n - любое число, преобразуем логарифмы log₃225 и log₅225 следующим образом: log₃225 = log₃ (3 * 5) ² = 2 * log₃ (3 * 5) = 2 * (log₃3 + log₃5) = 2 * (1 + log₃5) = 2 + 2 * log₃5, Аналогично, имеем: log₅225 = log₅ (3 * 5) ² = 2 * log₅ (3 * 5) = 2 * (log₅3 + log₅5) = 2 * (log₅3 + 1) = 2 * log₅3 + 2. Подставляя найденные значения выражений на свои места, имеем: А = (2 - (2 + 2 * log₃5)) * (2 - (2 * log₅3 + 2)) = (2 - 2 - 2 * log₃5) * (2 - 2 * log₅3 - 2) = 2 * log₃5 * 2 * log₅3 = 4 * log₃5 * log₅3. Используя тождество log_ab * log_ba = 1, где а > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, окончательно, найдём А = 4 * 1 = 4. Что и требовалось доказать.