Найдите положительную точку минимума f (x) = 4x3 - 20x2 + x4

1. Вычислим производную и найдем критические точки функции:

f (x) = 4x^3 - 20x^2 + x^4; f (x) = x^4 + 4x^3 - 20x^2; f' (x) = 4x^3 + 12x^2 - 40x = 4x (x^2 + 3x - 10); 4x (x^2 + 3x - 10) = 0; [x = 0;

[x^2 + 3x - 10 = 0; D = 3^2 + 4 * 10 = 49; x = (-3 ± √49) / 2 = (-3 ± 7) / 2; [x = (-3 - 7) / 2 = - 10/2 = - 5;

[x = (-3 + 7) / 2 = 4/2 = 2;

x1 = - 5; x2 = 0; x3 = 2.

2. Промежутки монотонности:

a) x ∈ (-∞; - 5), f' (x) <0, функция убывает; b) x ∈ (-5; 0), f' (x) > 0, функция возрастает; c) x ∈ (0; 2), f' (x) <0, функция убывает; d) x ∈ (2; ∞), f' (x) > 0, функция возрастает. x = - 5; 2 - точки минимума; x = 0 - точка максимума.

Положительная точка минимума: x = 2.

Ответ: 2.