Найти производную y=arctg (√sin (x))

Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции [f (g (x)) ]' = f' (g (x)) * g' (x).

y' (x) = [arctg (√sin (x)) ]' = [1 / (1 + (√sin (x)) ²) ] * (√sin (x)) ' =

= [1 / (1 + sin (x)) ] * (-1 / 2√sin (x)) * (sin (x)) ' =

= - 1 / [ (1 + sin (x)) * 2√sin (x) ] * cos (x) = - cos (x) / [2√sin (x) * (1 + sin (x)) ].