Треугольник ABC задан вершинами A = (1,2), B = (2,-2), C = (6,1). Найти угол между высотой CD и медианой BM

Для решения этой задачи нам нужно будет составить несколько уравнений прямой. Вспомним уравнение прямой проходящей через две заданные точки имеет вид:

(x - x₁) / (x₂ - x₁) = (y - y₁) / (y₂ - y₁).

Составим уравнение прямой АВ:

(x - 1) / (2 - 1) = (y - 2) / (-2 - 2) ⇒ - 4 (х - 1) = у - 2 ⇒ 4 х + у - 6 = 0.

Для составления уравнения высоты CD воспользуемся нормалями, у перпендикулярных векторов нормали тоже перпендикулярны:

n₁ (4; 1) - нормальный вектор прямой АВ, тогда n₂ = (-1; 4) будет нормальным вектором прямой СD, потому что n₁ * n₂ = 4 * (-1) + 1 * 4 = 0.

Уравнение перпендикуляра к прямой АВ будет иметь вид: - х + 4 у + k = 0.

Для нахождения k подставим координаты точки С (6; 1) в уравнение - 6 + 4 + k = 0 ⇒ k=2. Следовательно уравнение прямой СD будет: - x + 4y + 2 = 0.

Для составления уравнения медианы найдем координаты точки М - середины стороны АС трехугольника:

х = (1 + 6) / 2 = 3,5, у = (2 + 1) / 2 = 1,5. М (3,5; 1,5)

Теперь составим уравнение прямой ВМ, проходящей через точки В и М:

(x - 2) / (3,5 - 2) = (y + 2) / (1,5 + 2) ⇒ 3,5 (х - 2) = 1,5 (у + 2) ⇒ 7 х - 3 у - 20 = 0.

Нормальным вектором прямой ВМ будет вектор n₃ = (7; - 3).

Что бы найти угол между прямыми СD и ВМ найдем углу между их нормальными векторами:

сos α = (n₂ * n₃) / (| n₂| * | n₃|) = ((-1) * 7 + 4 * (-12)) / (√ ((-1) ² + 4²) * √ (7² + (-3) ²) = - 19/√ (17) * √ (58).

α = arccos (-19/√ (17) * √ (58)) = π - arccos (19/√ (17) * √ (58)).

При пересечении прямых образовалось два попарно равных угла, найденный угол тупой, а смежный с ним угол будет острый.

Второй угол тогда будет: arccos (19/√ (17) * √ (58)).