Найти наименьшее значение функции 3cos a-7sin^2a

1. Вычислим производную функции и найдем стационарные точки:

f (a) = 3cosa - 7sin^2 (a);

f' (a) = - 3sina - 7 * 2sina * cosa;

f' (a) = - 3sina - 14sina * cosa;

f' (a) = - sina (3 + 14cosa);

-sina (3 + 14cosa) = 0;

[sina = 0;

[3 + 14cosa = 0; [sina = 0;

[14cosa = - 3; [sina = 0;

[cosa = - 3/14; [a = πk, k ∈ Z;

[a = π ± arccos (3/14) + 2πk, k ∈ Z.

2. Значение функции в стационарных точках:

f (a) = 3cosa - 7sin^2 (a);

a1) f (2πk) = 3cos (2πk) - 7sin^2 (2πk) = 3 * 1 - 7 * 0^2 = 3; a2) f (π + 2πk) = 3cos (π) - 7sin^2 (π) = 3 * (-1) - 7 * 0^2 = - 3; b) f (a) = 3cosa - 7sin^2 (a) = 3cosa + 7cos^2 (a) - 7 = 3 * (-3/14) + 7 * (3/14) ^2 - 7 = - 9/14 + 9/28 - 7 = - 9/28 - 196/28 = - 205/28.

Ответ: - 205/28.